O que é integral por substituição trigonométrica?

A substituição trigonométrica é uma técnica utilizada para simplificar integrais que envolvem raízes quadradas de funções trigonométricas. Ela é especialmente útil em integrais onde aparecem expressões do tipo $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ ou $\sqrt{x^2 - a^2}$.

Para realizar a substituição trigonométrica, é necessário escolher uma função trigonométrica que possa ser associada à expressão da integral original. Em seguida, utiliza-se as identidades trigonométricas para reescrever a função original em termos da função escolhida.

Após a substituição ser feita, simplifica-se a integral e, em seguida, resolvem-se as integrais resultantes utilizando técnicas tradicionais.

Alguns exemplos de substituições trigonométricas frequentemente utilizadas são:

• $\sqrt{a^2 - x^2}$: $x = a\sin\theta$, $dx = a\cos\theta d\theta$;
• $\sqrt{a^2 + x^2}$: $x = a\tan\theta$, $dx = a\sec^2\theta d\theta$;
• $\sqrt{x^2 - a^2}$: $x = a\sec\theta$, $dx = a\sec\theta\tan\theta d\theta$.

A substituição trigonométrica pode ser mais trabalhosa do que outras técnicas de integração, como integração por partes ou substituições simples. No entanto, é uma ferramenta poderosa para resolver integrais que envolvem funções trigonométricas e raízes quadradas.